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基于时间序列的滑动分块Bootstrap方法的一致性定理及其证明

来源:万方期刊网  时间:2017-08-21 09:23:26  点击:

作者:沈秀娟

  摘要:文章主要是基于Efron在Bootstrap一致性理论方面的研究,参照有关的文献,利用中心极限定理及时间序列的相关性质,对定期时间序列的滑动分块Bootstrap方法的一致性定理进行了有效的证明,为Bootstrap方法理论研究及应用进行了更广阔的延伸和拓展.
  关键词:滑动分块Bootstrap方法;时间序列;一致性
  中图分类号:O212文献标识码:A
  Bootstrap方法在时间序列数据、截面数据和面板数据等数据类型模型中得到了广泛的应用。近十年来,国内学术界已将Bootstrap方法广泛应用于经济管理、军事、金融、外贸、和医学等领域的实际问题研究,部分学者从理论角度探讨了基于Bootstrap方法检验统计量的渐近逼近性或一致性,本文主要对滑动分块Bootstrap方法及其一致性进行理论研究与探讨。
  1.滑动分块Bootstrap方法理论研究
  滑动分块Bootstrap法是一种适合相依时间序列的再抽样方法,与传统的非对称性检验法相比,它能有效地拟合统计量的抽样分布.[2]
  在样本非独立同分布的情况下,滑动分块Bootstrap方法可以应用于像时间序列一样的样本非独立但同分布的情形,如下图所示:
 
  图中的黑框表示原始时间序列样本数据,为产生一个与此样本量大小相同的自助样本,首先假定数据块步长为2,考虑所有邻近的长度为2的样本点组成的数据块,然后按照Bootstrap方法从这些数据块中重复抽样,将它们连接起来形成自助样本.[2]但是,如果不加考虑的从原始样本点中重复抽样,会破坏样本点之间的相依性,这种相依性对这组样本点是十分重要的,而滑动分块Bootstrap方法通过选择适当的步长,使块与块之间近乎独立,在抽样时可保留块内样本点之间的相依性,从而达到应用滑动分块Bootstrap方法的目的.[3]
  2.滑动分块Bootstrap方法的一致性定理及其证明
  2.1滑动分块Bootstrap方法一致性定理
  定理1[4]设是严格定期的-混合时间序列,周期为,是由滑动分块Bootstrap方法形成的自助样本变量,且,,如果满足以下两个条件,即:
  (1)自协方差函数是可加的.
  (2)有中心极限定理的性质可知:,
  则滑动分块Bootstrap方法是一致的.
  2.2一致性定理的证明
  引理1[4]若是来自时间序列的一个样本,且是定期为的严格定期序列,则:对于任何的正整数序列,三角阵,其中,,是定期为的逐行严格定期序列.
  引理2[4]如果时间序列是定期为的严格定期序列,且是Borel可测函数,则也是定期为的严格定期序列.
  引理3[4]令为实随机变量的三角阵,其中,,且是定阶为1的逐行严格定期的,定期为.假设满足一下三个条件:
  (1)时间序列,,是一致可积的.
  (2)下列极限存在且有限.
  (3)存在非负实数的三角阵,即
  且对于任何的,,有:
  则:,其中,
  引理4[4]若是来自时间序列的一个样本,是实值的且近乎定期的.假设自协方差函数是一致可加的,即存在一个可加序列,其实数形式如,则存在,对于任何一个序列趋于无穷大.
  证明:不失一般性,假设,但不恒为零.对于任意且,令.对于给定的样本,随机变量是有条件独立且同分布的,则:,,根据Araujo和Gine提出的引理,定理1可以改写为:对于任意的,有:
  (1)
  (2)
  首先,证明(1)式是成立的.
  因为[5],则若要证明(1)式,即要证明.令,,由引理1和引理2及,其中是逐行严格定期的数组.为了表明满足引理3的假设,定义三角阵:且.对于任何固定的,有:
 
  且,由引理1可得:,又因为,则,由引理4可得:是一致可积的.[5]由,,则,这说明也是一致可积的.又由于是一致可积的,则,其中.易知三角阵是-混合的.由不等式及引理3可知:,即证明(1)式.
  其次,证明(2)式是成立的.
  要证明(2)式成立,即证明
  同理,令,并定义数组是严格定期的.由,知:
 
  则:是一致可积的.
  其中,,,,接下来的证明与(1)式的证明类似,即(2)式得证.
  参考文献:
  [1]刘攀,郭生练,肖义等.水文时间序列趋势和跳跃分析的再抽样方法研究[J].水文,2007,27(2):49-53.
  [2]王秀丽.基于Bootstrap方法的北江流域径流趋势分析[J].2009,(9).
  [3]范金城.数据分析[M].北京:科学出版社,2002:132-147.
  [4]RaoCR.Linearstatisticsinferenceanditsapplications.(2ndEdit)NewYork,JohnWiley&sons.Inc.1973
  [5]EfronB&TibshiraniRJ.AnIntrodutiontothebootstrap.NewYork:Chapman&Hall,1993

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